高维空间下 Kirchhoff 方程的规范解

以下具有索伯维尔临界指数的 Kirchhoff 方程已被广泛研究：$$-\Big(a+b\int_{\mathbb R^N} | \nabla u|^2dx\Big) \Delta u+\lambda u=\mu |u|^{q-2}u+|u|^{2^*-2}u \ \ {\rm in}\ \ \mathbb{R}^N, \ \ N\geq4,$$ 其中约束为 $\int_{\mathbb R^N}|u|^2dx=c$，$a,c$ 为正常数，$b,\mu$ 为参数，$\lambda$ 为实数拉格朗日乘子，$2<q<2^*$，$2^*$ 为索伯维尔临界指数。首先，对于特殊情况 $\mu=0$ 和 $N\geq4$，方程化为纯临界 Kirchhoff 方程，我们通过变分方法得到完整结论，包括规范解的存在性、不存在性和数目性。其次，当 $\mu>0$，$N\geq5$ 且 $2<q<2+\frac{4}{N}$ 时，我们在参数 $b$ 和质量 $c$ 的适当假设下，研究正规范解的存在性。鉴于这已是首次考虑的情形，这不仅涉及检验 Palais-Smale 条件的困难，还要求约束泛函具有复杂的凹凸结构。最后，当 $\mu>0$ 且 $N=4$ 时，我们获得局部最小化解和山坡过渡解，并给出关于 $b$ 和 $c$ 的显式条件。值得注意的是，通过引入新函数建立山坡水平的阈值，这是满足 Palais-Smale 条件的关键步骤。本文对高维空间下 Kirchhoff 类型问题的规范解结果进行了细化和扩展。