Sobolev 临界 Schrödinger 方程带阱势的正规化解

我们研究了具有给定 $L^{2}$-范数正规化解的存在性与数目问题，即 Sobolev 临界 Schrödinger 方程 $-\Delta U + V(x) U = \lambda U + |U|^{2^*-2} U$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中，$\int_{\mathbb{R}^N} U^2\,dx = \rho^2$，其中 $N \ge 3$，$V\ge 0$ 为阱势，$\lambda \in \mathbb{R}$，$2^*=\frac{2N}{N-2}$。我们的第一个结果是，在适当假设下，对 $\rho \in (0, \rho^*)$ 的情况存在局部最小解，其中 $\rho^* > 0$ 为适当选取的值。这些解对应于基态。我们的第二个结果涉及山坡过路解的存在，在相同的假设下成立。