带势阱的薛定谔系统的归一化解

本文研究带势阱的薛定谔系统的归一化解 \begin{equation}\label{eq:diricichlet} \begin{cases} -\Delta u_1+V_1(x)u_1-\lambda_1 u_1=\mu_1 u_1^3+\beta u_1u_2^{2}+\kappa u_2~\hbox{in}~ \mathbb{R}^3,\ -\Delta u_2+V_2(x)u_2-\lambda_2 u_2=\mu_2 u_2^3+\beta u_1^2u_2+\kappa u_1~\hbox{in}~ \mathbb{R}^3, u_1\in H^1(\mathbb{R}^3), u_2\in H^1(\mathbb{R}^3),\nonumber \end{cases} \end{equation} 在约束条件 \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^3} u_1^2=a_1^2,~\int_{\mathbb{R}^3} u_2^2=a_2^2\nonumber, \end{equation} 下，其中 $\mu_1,\mu_2,a_1,a_2,\beta>0$，$\kappa\in\mathbb{R}$，$V_1(x)$ 和 $V_2(x)$ 是势阱，$\lambda_1,\lambda_2$ 是拉格朗日乘子，这是 $\mathbb{R}^3$ 中典型的 $L^2$-超临界情形。我们分别针对 $\kappa=0$ 和 $\kappa\neq 0$ 的情况，通过在流形上的极小极大理论得到了该系统的解的存在性。