带势的质量超临界 Schrödinger-Poisson 方程的归一化解

在本文中，我们证明了以下 Schrödinger-Poisson 方程的归一化解 $(\lambda,u)\subset (0,\infty)\times H^1(\mathbb{R}^3)$ 的存在性 $$\begin{cases} -\Delta u+V(x)u+\lambda u+(|x|^{-1}\ast u^2)u=|u|^{p-2}u&\text{in}\,\mathbb{R}^{3},\\ u>0,\quad \int_{\mathbb{R}^{3}}u^2dx=a^2, \end{cases}$$ 其中 $a>0$ 是固定的，$p\in(\frac{10}{3},6)$ 是给定的指数，势函数 $V$ 满足某些适当条件。由于 $u$ 的 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 范数是固定的，$\lambda$ 作为 Lagrange 乘子出现。对于 $V(x)\geq0$，我们的解是利用有界域上的山路论证以及 Bartsch 等人引入的极限过程得到的。对于 $V(x)\leq0$，我们直接构造了一个具有正能量的整山路解。