具有势和一般非线性项的薛定谔方程的归一化解：质量超临界情形
偏微分方程分析
2021-11-03 v1
摘要
本文证明了下述薛定谔方程存在满足归一化约束 ∫_{R^N} u^2 dx = a 的解 (λ, u) ∈ R × H^1(R^N)：在 R^N 中，-Δu(x) + V(x)u(x) + λu(x) = g(u(x))，其中 0 ≤ u(x) ∈ H^1(R^N)，N ≥ 3。我们在此处理所谓的质量超临界情形。在对 V 的显式小性假设和对 g 的一些 Ambrosetti-Rabinowitz 型条件下，我们能够证明对于给定质量 a > 0 的基态归一化解的存在性。此外，我们强调了下述问题的最小化解的山路特征：inf { ∫ [1/2 |∇u|^2 + 1/2 V(x)u^2 - G(u)] dx : ‖u‖_{L^2(R^N)}^2 = a, P[u] = 0 }，其中 G(s) = ∫_0^s g(τ) dτ 且 P[u] = ∫ [|∇u|^2 - 1/2 ⟨∇V(x), x⟩ u^2 - N(1/2 g(u)u - G(u))] dx。
引用
@article{arxiv.2111.01687,
title = {Normalized solution to the Sch\"odinger equation with potential and general nonlinear term: Mass super-critical case},
author = {Yanheng Ding and Xuexiu Zhong},
journal= {arXiv preprint arXiv:2111.01687},
year = {2021}
}