非线性 Schrödinger 方程质量临界非线性项的规范化基态

我们研究满足正规化条件 $(\mu,u)\in \mathbb{R} \times H^1(\mathbb{R}^N)$ 的非线性 Schrödinger 方程的规范化解 $$-\Delta u + \mu u = g(u)\quad \text{在}\ \mathbb{R}^N, \qquad \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} u^2 dx = m,$$ 其中 $N\geq 2$ 且给定的质量 $m>0$。此处 $g$ 在原点和无穷处都具有 $L^2$-临界增长，即 $g(s)\sim |s|^{p-1}s$ 当 $s\sim 0$ 和 $s\sim\infty$，其中 $p=1+\frac{4}{N}$。我们继续之前在 [Cingolani-Gallo-Ikoma-Tanaka, 2024] 中开始的分析，发现拉格朗日泛函具有两个（可能不同）的 minimax 值 $\underline{b} \leq 0 \leq \overline{b}$。在本文中我们提供满足 $\underline{b}<0<\overline{b}$、$\underline{b}=0<\overline{b}$ 和 $\underline{b}<0=\overline{b}$ 的 $g$ 的具体例子；请注意在幂函数情形 $g(t)=|t|^{p-1}t$ 时 $\underline{b}=0=\overline{b}$。此外，我们处理具有最小能量的解的存在与不存在。最后，我们讨论 $g$ 必须满足的假设，以获得对 $g$ 的扰动的正解的存在性。