具有一般双重行为非线性的 Schrödinger 方程规范化解的存在性与动力学

我们研究解 $(\underline u,\lambda_{\underline u})\in H^1(\mathbb{R}^N; \mathbb{R}) \times \mathbb{R}$ 的存在性，该解满足 $$-\Delta u + \lambda u = f(u) \quad \text{in } \mathbb{R}^N$$ 其中 $N \ge 3$ 且具有预设的 $L^2$ 范数，以及满足 $$\begin{cases} \mathrm{i} \partial_t \Psi + \Delta \Psi = f(\Psi)\\ \Psi(\cdot,0) = \psi_0 \in H^1(\mathbb{R}^N; \mathbb{C}) \end{cases}$$ 的解的动力学，其中 $\psi_0$ 接近 $\underline u$。这里，非线性项 $f$ 在原点处具有质量次临界增长，在无穷远处具有质量超临界增长，并且比两个幂的和更一般。在不同假设下，我们证明了局部最低能量解的存在性、所有此类解的轨道稳定性、具有更高能量的第二个解的存在性，以及此类解的强不稳定性。