规范解在二维 NLS 方程中的质量混合情形

我们关注满足质量约束 $$\int_{\mathbb{R}^2}|u|^2\, dx=c^2\$$ 的正规范解 $(u,\lambda)\in H^1(\mathbb{R}^2)\times\mathbb{R}$ 对以下半线性薛定谔方程 $$-\Delta u+\lambda u=f(u), \quad\text{in}~\mathbb{R}^2,$$ 其中 $f$ 在零点处具有 $L^2$ 次亚临界增长，在无穷处具有临界增长。对于二维情形，临界增长为指数级。 在轻微条件下，我们证明当给定质量足够小时，存在两个正规范解：一个是局部最小化器，另一个是山脊通过类型。我们还研究接近零质量情形（即当 $c\to 0^+$）的解的渐近行为。