R^N 中具有临界增长的薛定谔方程归一化解的多重性

本文研究如下具有临界增长的非线性薛定谔方程归一化解的多重性 \begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &-\Delta u=\lambda u+\mu |u|^{q-2}u+f(u), \quad \quad \hbox{in }\mathbb{R}^N,\\ &\int_{\mathbb{R}^{N}}|u|^{2}dx=a^{2}, \end{aligned} \right. \end{align*} 其中 $a,\mu>0$，$\lambda\in \mathbb{R}$ 为作为拉格朗日乘子出现的未知参数，$q \in (2,2+\frac{4}{N})$，且当 $N=2$ 时 $f$ 具有指数临界增长，当 $N \geq 3$ 时 $f(u)=|u|^{2^*-2}u$ 且 $2^{*}=\frac{2N}{N-2}$。