含指数临界增长的非线性薛定谔方程的归一化基态解

我们关注如下非线性薛定谔方程\n\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \begin{cases} -\Delta u+\lambda u=f(u) \ \ {\rm in}\ \mathbb{R}^{2},\\ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{2}),~~~ \int_{\mathbb{R}^2}u^2dx=\rho, \end{cases} \end{aligned} \end{eqnarray*}\n其中 $\rho>0$ 给定,$\lambda\in\mathbb{R}$ 作为拉格朗日乘子出现,且 $f$ 满足指数临界增长。在不假设 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的情形下,我们证明了对于任意 $\rho>0$ 归一化基态解的存在性。证明基于约束极小化方法以及 $\mathbb{R}^2$ 中的 Trudinger-Moser 不等式。