通过双方法再审视带有预定质量的准线性 Schrödinger 方程

本文旨在研究以下准线性 Schrödinger 方程的基态正规化解的存在性：$-\Delta u-\Delta(u^2)u=h(u)+\lambda u,\,\, x\in\R^N$，在质量约束 $\int_{\R^N}|u|^2\text{d}x=a,$ 下，其中 $N\geq2$，$a>0$ 为给定质量，$\lambda$ 为拉格朗日乘子，$h$ 为满足某些适当条件的非线性反应项。通过采用合适的变换 $u=f(v)$，我们将原问题改写为等价形式 $-\Delta v =h(f(v))f'(v)+\lambda f(v)f'(v),\,\, x\in\R^N,$，且满足预定质量 $\int_{\R^N}|f(v)|^2\text{d}x=a.$ 为解决 $L^2$ 范数 $\|f(v)\|^2_2$ 不等于 $a$ 的挑战，我们引入一种新颖的拉伸映射：$v_t(x):=f^{-1}(t^{N/2}f(v(tx))).$ 这种构造结合双方法和详尽的分析技术，使我们能够建立以下存在结果：（1）通过约束最小化方法求解的解的存在性；（2) 在一般 $L^2$ 超临界增长条件下基态正规化解的存在性，以及通过双方法分析的非存在结果；（3）在临界增长条件下正规化解的存在性，同样采用双方法处理。此外，我们还分析了在 {\bf(P2)} 中获得的基态能量的渐近行为。我们的结果扩展并细化了 Colin-Jeanjean-Squassina [Nonlinearity 20: 1353-1385, 2010]、Jeanjean-Luo-Wang [J. Differ. Equ. 259: 3894-3928, 2015]、Li-Zou [Pacific J. Math. 322: 99-138, 2023]、Zhang-Li-Wang [Topol. Math. Nonl. Anal. 61: 465-489, 2023] 等工作的结论。我们认为本文中所发展的方法可以适用于通过双方法研究准线性 Schrödinger 方程中正规化解的相关问题。