具有混合分数拉普拉斯算子和组合非线性项的 NLS 方程的归一化解

我们寻找具有混合分数拉普拉斯算子和组合非线性项的非线性 Schrödinger 方程的归一化解 $$\left\{\begin{array}{ll} (-\Delta)^{s_{1}} u+(-\Delta)^{s_{2}} u=\lambda u+\mu |u|^{q-2}u+|u|^{p-2}u \ \text{in}\;{\mathbb{R}^{N}}, \\[0.1cm] \int_{\mathbb{R}^{N}}|u|^2\mathrm dx=a^2, \end{array} \right.$$ 其中 $N\geq 2,\;0<s_2<s_1<1, \mu>0$ 且 $\lambda\in\mathbb R$ 作为未知的 Lagrange 乘子出现。我们主要关注一些特殊情形，包括分数 Sobolev 次临界或临界指数。更确切地说，对于 $2<q<2+\frac{4s_2}{N}<2+\frac{4s_1}{N}<p<2_{s_1}^{\ast}:=\frac{2N}{N-2s_1}$，我们证明上述问题至少有两个解：一个负能量的基态解和一个正能量的山路型解。对于 $2<q<2+\frac{4s_2}{N}$ 且 $p=2_{s_1}^{\ast}$，我们还获得了基态解的存在性。我们的结果推广了 Chergui 等人（Calc. Var. Partial Differ. Equ., 2023）和 Luo 等人（Adv. Nonlinear Stud., 2022）先前的一些工作。