混合分数阶拉普拉斯非线性薛定谔方程归一化解的存在性与动力学

本文研究带有混合分数阶拉普拉斯的方程 $$(-\Delta)^{s_1} u +(-\Delta)^{s_2} u + \lambda u=|u|^{p-2} u$$ 在约束 $$\int_{\R^N} |u|^2 \, dx=c>0$$ 下解的存在性与动力学，其中 $N \geq 1$，$0<s_2<s_1<1$，若 $N \leq 2s_1$ 则 $2+ \frac {4s_1}{N} \leq p< \infty$，若 $N >2s_1$ 则 $2+ \frac {4s_1}{N} \leq p<\frac{2N}{N-2s_1}$，$\lambda \in \R$ 作为拉格朗日乘子出现且未知。分数阶拉普拉斯 $(-\Delta)^s$ 表征为 $\mathcal{F}((-\Delta)^{s}u)(\xi)=|\xi|^{2s} \mathcal{F}(u)(\xi)$（$\xi \in \R^N$），其中 $\mathcal{F}$ 表示傅里叶变换。我们首先建立基态解的存在性与束缚态解的多重性。然后研究相应含时方程柯西问题解的动力学。此外，我们建立了基态解的轨道不稳定性。