基于拉格朗日表述的分数阶非线性标量场方程的归一化解

我们研究分数阶问题 \begin{equation*} (P_m) \quad \left \{ \begin{aligned} (-\Delta)^{s} u + \mu u &=g(u) & \; \text{in $\mathbb{R}^N$}, \cr \int_{\mathbb{R}^N} u^2 dx &= m, & \cr u \in H^s_r&(\mathbb{R}^N), & \end{aligned} \right. \label{problemx} \end{equation*} 的解的存在性，其中 $N\geq 2$，$s\in (0,1)$，$m>0$，$\mu$ 为未知拉格朗日乘子，且 $g \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 满足 Berestycki-Lions 型条件。利用问题 $(P_m)$ 的拉格朗日表述，我们证明了当 $g$ 具有 $L^2$ 次临界增长时，存在具有给定质量的弱解。该方法依赖于极小极大结构的构造，借助乘积空间中的 Pohozaev 山脉以及基于 [21,25] 中引入的新版 Palais-Smale 条件的某些形变论证。若 $g$ 为奇函数，还获得了无穷多归一化解的多重性结果。