归一化解的 Pohoźćev 最小化：对数型分数线性微分方程

本文寻找满足质量约束 $\int_{\mathbb{R}^N} u^2 \, \mathrm{d}x = m>0$ 下的归一化解，对分数线性、非线性且可能强烈亚线性 Schrödinger 方程 $$(-\Delta)^s u + \mu u = g(u) \quad \text{在 } \mathbb{R}^N,$$ 进行研究；其中，$N\geq 2$，$s \in (0,1)$，$\mu$ 为拉格朗日乘子。我们研究 $L^2$ 次临界非线性 $g$ 的情况，属于 Berestycki--Lions 类型，无需假设 $g$ 在原点处亚线性，这使我们能够包含诸如对数项 $g(u)= u\log(u^2)$ 或亚线性幂次 $g(u)=u^q-u^r$，其中 $0<r<1<q$。鉴于 $g$ 的普适性以及能量泛函可能不存在的事实，我们采用近似过程结合拉格朗日方法和在乘积空间中的一种新的 Pohoźćev 最小化，找到 $m$ 较大值时的解。在亚线性情形下，我们能够为每个 $m$ 找到解。我们还研究了一些最小性概念。我们指出，即使在局部情形 $s=1$ 或 $g$ 亚线性时，一些结果也仍然是新的。