Sobolev 空间中的分数阶 Schrödinger 方程

设 $\sigma\in(0,1)$ 且 $\sigma\neq\frac{1}{2}$。我们研究 $\mathbb R^d$ 中的分数阶非线性 Schr\"odinger 方程：$$i\partial_tu+(-\Delta)^\sigma u+\mu|u|^{p-1}u=0,\, u(0)=u_0\in H^s,$$其中 $(-\Delta)^\sigma$ 为符号 $|\xi|^{2\sigma}$ 的 Fourier 乘子，且 $\mu=\pm 1$。该模型由 Laskin 在量子物理中引入 \cite{laskin}。我们建立了幂型非线性情形下 Sobolev 空间中的局部适定性与不适定性。