带幂律非线性扰动的对数Schrödinger方程的归一化解

我们研究如下对数Schrödinger方程在质量约束 \begin{equation*}\label{eqs01} -\Delta u+\lambda u=\alpha u\log u^2+\mu|u|^{p-2}u, \ \ x\in\R^N, \end{equation*} 下归一化解的存在性，其中约束为 $$\int_{\R^N}u^2\mathrm{d}x=c^2,$$ $\alpha,\mu\in \R$，$N\ge 2$，$p>2$，$c>0$为常数，$\lambda\!\in\!\R$作为拉格朗日乘子出现。在对$\alpha,\mu,p$和$c$的不同假设下，我们证明了基态解与激发态解的存在性。我们还研究了当$\mu\to 0$时基态解的渐近行为。我们的结果包含了$\alpha<0$或$\mu<0$的情形，该情形在文献中较少被研究。