格点图上带势的非线性薛定谔方程归一化解的存在性

我们研究以下薛定谔方程基态归一化解的存在性：\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u+V(x)u+\lambda u=f(x,u), & x\in\mathbb{Z}^d \ \Vert u\Vert_2^2=a \end{cases} \end{equation*} 其中$V(x)$是俘获势或阱势，$f(x,u)$满足Berestycki-Lions型条件及其他适当条件。我们证明总存在一个阈值$\alpha\in[0,\infty)$，使得对于$a\in (0,\alpha)$不存在基态归一化解，而对于$a\in(\alpha,\infty)$存在一个基态归一化解。此外，我们证明了$\alpha$为正的充分条件：若$f(x,u)$在0附近是质量次临界的，则$\alpha=0$；若$f(x,u)$在0附近是质量临界或质量超临界的，则$\alpha>0$。