具有临界指数与混合非局部非线性的 Schrödinger 方程的归一化解

我们研究了具有混合非局部非线性的非线性 Schrödinger 方程的归一化解 $(u_a, \lambda_a)\in H^{1}(\mathbb{R}^N)\times \mathbb{R}$ 的存在性与不存在性。本研究可视为在固定 $L^2$-范数 $\|u\|_2=a>0$ 的非局部 Schrödinger 方程归一化解背景下 Brezis-Nirenberg 问题的对应物。主项是 $L^2$-超临界的，即 $p\in (\frac{N+\alpha+2}{N},\frac{N+\alpha}{N-2}]$，其中出现了 Hardy-Littlewood-Sobolev 临界指数 $p=\frac{N+\alpha}{N-2}$。我们首先证明，当 $q\in (\frac{N+\alpha}{N},\frac{N+\alpha+2}{N})$ 且 $\mu >0$ 足够小时，存在两个归一化解，即一个位于负能级，另一个位于正能级。对于 $q=\frac{N+\alpha+2}{N}$，我们证明了当 $0<\mu < \tilde{\mu}$ 时存在一个归一化基态，而当 $\mu >\tilde{\mu}$ 时不存在基态，其中 $\tilde{\mu}$ 是一个严格正的常数。如果 $q\in (\frac{N+\alpha+2}{N},\frac{N+\alpha}{N-2})$，我们推导出对于任意 $\mu>0$ 均存在归一化基态。我们还得到了 $\mu<0$ 且 $q\in (\frac{N+\alpha}{N},\frac{N+\alpha+2}{N}]$ 情况下的一些存在性与不存在性结果。此外，我们分析了当 $\mu\rightarrow 0^{+}$ 时归一化基态的渐近行为。