拟线性薛定谔方程：基态与无穷多归一化解

在本文中，我们研究如下拟线性薛定谔方程的归一化解：$$-\Delta u-u\Delta u^2+\lambda u=|u|^{p-2}u \quad \text{in}~\mathbb R^N,$$ 其质量给定为 $$\int_{\mathbb R^N} u^2=a^2.$$ 我们首先考虑质量超临界情形 $p>4+\frac{4}{N}$，该情形此前未被研究。利用扰动方法，我们成功证明了基态归一化解的存在性，并应用指标理论得到无穷多归一化解的存在性。随后我们转向质量临界情形，即 $p=4+\frac{4}{N}$，并获得若干新的存在性结果。此外，我们还观察到基态解的集中行为。