耦合薛定谔系统的归一化基态：质量超临界情形

我们考虑耦合薛定谔方程组 $$\begin{cases} -\Delta u+\lambda_1 u=\mu_1 u^{p-1}+\beta r_1 u^{r_1-1}v^{r_2}\quad &\hbox{in}~\mathbb{R}^N,\\ -\Delta v+\lambda_2 v=\mu_2 v^{q-1}+\beta r_2 u^{r_1}v^{r_2-1}\quad &\hbox{in}~\mathbb{R}^N,\\ 0<u,v\in H^1(\mathbb{R}^N), \, 1\leq N\leq 4,& \end{cases}$$ 的解 $(\lambda_1,\lambda_2, u, v)\in \mathbb{R}^2\times (H^1(\mathbb{R}^N))^2$ 的存在性，并满足归一化条件 $$\int_{\mathbb{R}^N}u^2 \mathrm{d}x=a \quad \mbox{and} \quad \int_{\mathbb{R}^N}v^2 \mathrm{d}x=b.$$ 此处 $\mu_1,\mu_2,\beta>0$ 且给定的质量 $a,b>0$。我们关注耦合的纯质量超临界情形，即 $$2+\frac{4}{N}<p,q,r_1+r_2<2^*$$ 其中 $2^*$ 为 Sobolev 临界指数，定义为当 $N=1,2$ 时 $2^*:=+\infty$，当 $N=3,4$ 时 $2^*:=\frac{2N}{N-2}$。我们优化了存在性所要求的 $(a,b,\beta,r_1,r_2)$ 的范围。特别地，对于 $N=3,4$ 且 $r_1,r_2\in (1,2)$，我们的结果表明对所有 $a,b>0$ 及 $\beta>0$ 均存在解。