具有规定质量的耦合薛定谔系统的多个正解：质量混合与Sobolev临界耦合情形

本文旨在建立以下涉及Sobolev临界指数的耦合薛定谔系统的多个正归一化解$(u,v,\lambda_1,\lambda_2)\in H^1(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^2)\times \mathbb{R}^2$：$$\begin{cases} -\Delta u+\lambda_1 u=\mu_1|u|^{p-2}u+\nu\alpha|u|^{\alpha-2}u|v|^\beta, x\in \mathbb{R}^N,\ -\Delta v+\lambda_2 v=\mu_2|v|^{q-2}v+\nu\beta|v|^{\beta-2}v|u|^\alpha, x\in \mathbb{R}^N,\ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2\mathrm{d}x=a, \int_{\mathbb{R}^N}|v|^2\mathrm{d}x=b, \end{cases} N\geq 3,$$ 其中$\mu_1,\mu_2, \nu, a, b>0$。我们特别关注质量混合情形，即$2<p, q<2+\frac{4}{N}, \alpha>1, \beta>1$，且$\alpha+\beta=2^*:=\frac{2N}{N-2}$。对于足够小的$\nu>0$，我们证明了上述系统存在两个正解，一个是局部极小元，另一个是山路解。通过发展一些关于相互作用估计的新技术引理，我们在系统情形下解决了Soave的开放问题[{\it J. Funct. Anal.}, 2020, Remark 1.1]。值得注意的是，我们的存在性结果对所有维度$N\geq 3$均成立。我们的结果也显著地将Gou和Jeanjean的结果[{\it Nonlinearity}, 2018, Theorem 1.1]推广到Sobolev临界耦合情形，并去除了$N\geq 5$时“$p,q\leq \alpha+\beta-\frac{2}{N}$或$|p-q|\leq \frac{2}{N}$”的假设。此外，我们还建立了局部极小元的一系列性质，包括局部唯一性、关于小参数$\nu$的连续性以及$\nu\rightarrow 0^+$时的极限轮廓。