R^4 中具有临界 Sobolev 指数的非线性椭圆组的正归一化解

本文考虑以下方程组在质量约束 $$\int_{\R^4}u^2=a_1^2\quad\text{and}\quad\int_{\R^4}v^2=a_2^2,$$ 下正解的存在性及其质量渐近行为,其中 $a_1,a_2$ 为给定常数,$\mu_1,\mu_2,\beta>0$;$\alpha_1,\alpha_2\in \R$,$p\!\in\! (2,4)$,且 $\lambda_1,\lambda_2\!\in\!\R$ 作为 Lagrange 乘子出现:\begin{equation}\label{eqA0.1}\nonumber \begin{cases} -\Delta u+\lambda_1u=\mu_1u^3+\alpha_1|u|^{p-2}u+\beta v^2u\quad&\hbox{in}~\R^4,\\ -\Delta v+\lambda_2v=\mu_2v^3+\alpha_2|v|^{p-2}v+\beta u^2v\quad&\hbox{in}~\R^4,\\ \end{cases} \end{equation} 首先,我们建立了排斥相互作用情形即 $\alpha_i<0(i=1,2)$ 的不存在性结果。进而转向 $\alpha_i>0 (i=1,2)$ 的情形,若 $2<p<3$,我们证明该问题存在基态与激发态,它们分别由相应能量泛函的局部极小元和山路临界点刻画。此外,我们给出了当 $(a_1,a_2)\to (0,0)$ 且 $a_1\sim a_2$ 时这两个解的精确渐近行为。这似乎是首篇关于具 Sobolev 临界指数的 Schr"{o}dinger 组归一化解的多重性以及同步质量塌缩行为的贡献。当 $3\leq p<4$ 时,我们证明了基态的存在性(以及 $p=3$ 时的不存在性)结果,它们由相应能量泛函的约束山路临界点刻画。进一步,当两个组分的质量分别趋于零并聚向某上界(或无穷)时,获得了基态的精确渐近行为。