外区域上自治与非自治非线性临界椭圆问题的正解

本文关注 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^N$（$N\ge 3$，$2^*={2N\over N-2}$，$2<p<2^*$）中形如 $-\Delta u+a(x)\, u=u^{p-1}+\varepsilon u^{2^*-1}$ 的问题的正解。此处 $\Omega$ 可为外区域（即 $\mathbb{R}^N\setminus\Omega$ 有界）或整个 $\mathbb{R}^N$。势函数 $a\in L^{N/2}_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ 被假设为严格正，且存在 $\lim_{|x|\to\infty}a(x):=a_\infty$，其中 $a_\infty>0$；特别地允许 $a\equiv {\rm const}$。首先，证明了基态解的一些存在性结果。随后考虑 $a(x)\ge a_\infty$ 且 $a(x)\not\equiv a_\infty$ 或 $\Omega\neq\mathbb{R}^N$ 的情形。在此情形下不存在基态解，并证明了小 $\varepsilon$ 下束缚态解的存在性。对 $\mathbb{R}^N\setminus\Omega$ 的大小及 $\|a-a_\infty\|_{L^{N/2}}$ 未作任何假设。