基于非光滑变分方法的非径向域上超临界椭圆问题

在本文中,我们关注如下问题的正经典解 \begin{equation} \label{eqx} \left\{\begin{array}{ll} -\Delta u = a(x) u^{p-1} & \mbox{ in } \Omega, \\ u>0 & \mbox{ in } \Omega, \\ u= 0 & \mbox{ on } \pOm, \end {array}\right. \end{equation} 其中 $\Omega$ 是 $\IR^N$ $(N \ge3)$ 中的有界环形域(不一定是圆环),且 $a(x)$ 是非负连续函数。我们证明了当问题满足某些温和的对称性与单调性条件时,对一定范围的 $p$ 的超临界值存在经典正解。作为我们结果的一个推论,我们将证明当 $a(x)=1$ 且 $\Omega$ 为在半径上满足某些假设的圆环时,(\ref{eqx}) 有 $\Bigl\lfloor\frac{N}{2} \Bigr\rfloor$($\frac{N}{2}$ 的下取整)个正的非径向解。我们还得到了环面域情形下正解的存在性。我们的方法基于一个新的变分原理,该原理允许通过在适当的凸子集上而非整个空间上限制相应泛函,以牺牲温和不变性为代价,变分地处理超临界问题。