具有超临界指数的椭圆型问题的解的不存在性与多重性
偏微分方程分析
2012-12-21 v1
摘要
我们考虑超临界问题 -Δu = |u|^{p-2}u in Ω, u=0 on ∂Ω, 其中Ω是R^N中的有界光滑区域，N≥3，p≥2*:=2N/(N-2)。Bahri和Coron表明，如果Ω具有非平凡同调，则该问题在p=2*时有一个正解。然而，这不足以保证超临界情况下的存在性。对于p≥2(N-1)/(N-3)，Passaseo展示了携带一个非平凡同调类的区域，其中不存在非平凡解。这里我们给出了随着p增加其同调变得更丰富的区域例子。更精确地说，我们证明对于p>2(N-k)/(N-k-2)且1≤k≤N-3，存在R^N中的有界光滑区域，其杯长为k+1，在该区域中该问题没有非平凡解。对于N=4,8,16，我们展示了存在许多来自Hopf纤维化的区域，其中对于某些特定的超临界指数，该问题具有指定数量的解。
引用
@article{arxiv.1212.5137,
title = {Nonexistence and multiplicity of solutions to elliptic problems with supercritical exponents},
author = {Mónica Clapp and Jorge Faya and Angela Pistoia},
journal= {arXiv preprint arXiv:1212.5137},
year = {2012}
}
备注
Published online in Calculus of Variations and Partial Differential Equations