双曲空间中非平凡外部区域上的超定椭圆问题

我们在双曲空间 $\mathbb{H}^N$, $N \in \{2,3,4\}$ 中构造了从球补集分岔的非平凡无界区域 $\Omega$，使得超定椭圆问题 \begin{equation} -\Delta_{\mathbb{H}^N} u+u-u^p=0\,\, \text{in}\,\,\Omega, \,\, u=0,\,\,\partial_\nu u=\text{const}\,\,\text{on}\,\,\partial\Omega\nonumber \end{equation} 在 $C^{2,\alpha}\left(\Omega\right) \cap H^1\left(\Omega\right)$ 中具有正有界解。我们还给出了该构造对更大维度 $N$ 成立的条件。这与Berestycki-Caffarelli-Nirenberg关于超定椭圆问题的猜想相关，据我们所知，这是双曲空间中超定椭圆问题的第一个非平凡解示例。