球面上非平凡可缩域上的超定椭圆问题

本文证明了存在非平凡可缩域 $\Omega\subset\mathbb{S}^{d}$（$d\geq2$），使得超定椭圆问题 \begin{equation*} \begin{cases} -\varepsilon\Delta_{g} u +u-u^{p}=0 &\mbox{in $\Omega$, } u>0 &\mbox{in $\Omega$, } u=0 &\mbox{on $\partial\Omega$, } \partial_{\nu} u=\mbox{constant} &\mbox{on $\partial\Omega$, } \end{cases} \end{equation*} 有正解。这里 $\Delta_{g}$ 是单位球面 $\mathbb{S}^{d}$ 上关于标准圆度量 $g$ 的 Laplace-Beltrami 算子，$\varepsilon>0$ 为小实参数，且 $1<p<\frac{d+2}{d-2}$（若 $d=2$ 则 $p>1$）。这些域是 $\mathbb{S}^{d}\setminus D$ 的扰动，其中 $D$ 是一个小的测地球。这特别表明，欧几里得空间中超定问题的 Serrin 定理即使对可缩域也不能推广到球面。