Serrin 平面域的分类

我们证明，所有光滑环形域 $\Omega\subset \mathbb{R}^2$，若其允许 Serrin 经典问题 $\Delta u+2=0$ 的解且沿 $\partial \Omega$ 具有局部常值超定边界条件，均可描述为 mKdV 方程族的代数几何势。相同结果对具有两个边界分量的周期无界域也成立。特别地，任何此类域均由某代数曲线上的合适全纯数据确定。因此，所有 Serrin 环形域或周期 Serrin 带的空间可被排列成一个有限维复杂度级别的序列。通过研究由椭圆函数给出的第一个非平凡级别，我们构造了：$(i)$ Serrin 问题的一个全局单参数周期解族，该族沿轴线在平坦带与圆盘链之间插值，呈现波形（unduloid）模式；以及 $(ii)$ 对于任意 $n>1$，一个具有 $2n$ 阶二面体对称群的非径向 Serrin 环形域的二维模空间 ${\bf T}_n$。该模空间 ${\bf T}_n$ 在几何上是一个三角形，其一边为径向带，而在其对顶点处为沿单位圆分布的 $n$ 个两两相切的圆盘构成的项链。