具有相同 Marvizi-Melrose 不变量的非等距区域

对于任意具有 $C^\infty$ 边界的严格凸平面区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$，可联系到由 Marvizi-Merlose 引入的无穷谱不变量序列。这些不变量通常可由 Laplace 算子的 Dirichlet 问题的谱确定。一个自然的问题是，该集合是否足以确定 $\Omega$ 直至等距。本文给出一个反例，即我们给出两个具有相同 Marvizi-Melrose 不变量集合的非等距区域 $\Omega$ 和 $\bar \Omega$。此外，每个区域具有可数多条周期趋于无穷的周期轨道 $\{S^n\}_{n \geqslant 1}$（相应地 $\{ \bar S^n\}_{n \geqslant 1}$），使得对每个 $n$，$S^n$ 与 $\bar S^n$ 具有相同的周期和周长。