Maslov 指数与二阶椭圆算子的谱

我们考虑有界 Lipschitz 域 $\Omega$ 上的二阶椭圆微分算子。首先，我们在其自伴延拓（定义域包含在 $H^1(\Omega)$ 中）与 $H^{1/2}(\partial\Omega)\times H^{-1/2}(\partial\Omega)$ 中的拉格朗日子空间之间建立了一种自然的一一对应关系。其次，我们推导了一个公式，将此类算子的单参数族的谱流与 Maslov 指数联系起来，后者是计算 $H^{1/2}(\partial\Omega)\times H^{-1/2}(\partial\Omega)$ 中拉格朗日子空间路径的共轭点带符号数量的拓扑不变量。此外，我们针对几类二阶算子，用 Maslov 指数计算了 Morse 指数（即负特征值的数量）：周期胞腔 $Q\subset \mathbb{R}^n$ 上的 $\vec{\theta}-$周期 Schr"odinger 算子、具有 Robin 型边界条件的椭圆算子，以及星形域上 Schr"odinger 算子的抽象自伴延拓。我们的工作建立在 B.Boo{\ss}-Bavnbek、K. Furutani 和 C. Zhu 最近开发的技术之上，并通过纳入定义域在一阶 Sobolev 空间 $H^1(\Omega)$ 中的二阶算子的自伴延拓，扩展了其谱流公式的有效范围。此外，我们推广了 G. Cox、J. Deng、C. Jones、J. Marzuola、A. Sukhtayev 及本文作者最近获得的关于 Maslov 指数与 Morse 指数之间关系的结果。最后，我们描述并研究了抽象边界三元组理论与抽象对称算子自伴延拓的拉格朗日描述之间的联系。