混合维边界区域的椭圆理论

取开区域$\Omega \subset \mathbb R^n$，其边界可由不同维度的片段组成。例如，$\Omega$可以是$\mathbb R^3$中的球去掉其中一条直径$D$，或$\Omega \subset \mathbb R^3$可以是所谓的锯齿形区域，其边界由被二维球面截获的一维曲线片段构成。在适当的几何假设下，如$\Omega$与$\partial \Omega$上存在具适当尺寸条件的加倍测度，我们构造了一类适应此几何的退化椭圆算子$L$，并建立了与这些算子相关的椭圆理论的关键估计。这包括边界Poincar\'e与Harnack不等式、最大值原理，以及解在边界处的H"older连续性。我们引入自然关联于该几何的Hilbert空间，构造适当的迹与延拓算子，并用它们定义$Lu=0$的弱解。随后我们证明$\Omega$内部与边界上的De Giorgi-Nash-Moser估计，求解Dirichlet问题并由此构造关联于$L$的椭圆测度$\omega_L$。最后，我们引入Green函数，并用其证明比较原理。由于我们的理论强调测度而非几何本身，即便在$\mathbb R^2_+$半平面的经典设定中，当边界$\partial \mathbb R^2_+= \mathbb R$装备相对于$\mathbb R$上Lebesgue测度奇异的加倍测度$\mu$时，结果也是新的。最后，本文提供了著名的Caffarelli-Sylvestre延拓算子从其$\mathbb R^{n+1}_+$经典设定到一般开集的推广，从而将分数阶拉普拉斯算子的概念推广至Ahlfors正则边界及更广情形。