无界域上含低阶项的椭圆方程的正则性理论与格林函数

我们考虑散度型椭圆算子，其含低阶项形式为 $Lu=-$div$(\nabla u+bu)-c\nabla u-du$，定义于开集 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$（$n\geq 3$），该开集的 Lebesgue 测度可能无穷。我们假设 $n\times n$ 矩阵 $A$ 是一致椭圆的，具有实的、仅有界且可能非对称的系数，并且要么 $b,c\in L^{n,\infty}_{loc}(\Omega)$ 且 $d\in L_{loc}^{\frac{n}{2},\infty}(\Omega)$，要么 $|b|^2,|c|^2,|d|\in \mathcal{K}_{loc}(\Omega)$，其中 $\mathcal{K}_{loc}(\Omega)$ 表示局部 Stummel-Kato 类。令 $\mathcal{K}_{Dini}(\Omega)$ 为满足 Carleson-Dini 型条件的 $\mathcal{K}(\Omega)$ 的变体。我们对 $Lu=f-$div$g$ 的解发展了 De Giorgi/Nash/Moser 理论，其中若对 $q\in [n, \infty)$ 下述任一假设成立，则 $|f|$ 与 $|g|^2\in \mathcal{K}_{Dini}(\Omega)$：a) $|b|^2,|d|\in \mathcal{K}_{Dini}(\Omega)$ 且要么 $c\in L^{n,q}_{loc}(\Omega)$ 要么 $|c|^2\in \mathcal{K}_{loc}(\Omega)$；b) div$b +d \leq 0$ 且要么 $b+c\in L^{n,q}_{loc}(\Omega)$ 要么 $|b+c|^2\in \mathcal{K}_{loc}(\Omega)$；c) $-$div$c+d \leq 0$ 且 $|b+c|^2\in \mathcal{K}_{Dini}(\Omega)$。我们还证明了边界正则性的 Wiener 型判据。假设系数的全局条件，我们表明变分 Dirichlet 问题适定，并且假设 $-$div$c+d\leq 0$，我们构造了与 $L$ 相关的格林函数并满足定量估计。在附加假设 $|b+c|^2\in \mathcal{K}'(\Omega)$ 下，我们表明其满足全局逐点界，并构造了与 $L$ 的形式伴随算子相关的格林函数。我们结果的一个重要特征是所有估计都是尺度不变且独立于 $\Omega$ 的，同时我们不假设系数范数小或双线性形式的强制性。