满足小 Carleson 测度范数条件的复 $L^{\infty}$ 系数椭圆方程的层位势与边值问题

我们考虑半空间 $\mathbb{R}^{n+1}_+ :=\{(x,t)\in \mathbb{R}^n\times(0,\infty)\}$ 中散度形式的椭圆方程 $Lu:=\nabla\cdot(A\nabla u)=0$，其系数矩阵 $A$ 为复椭圆、有界且可测。此外，我们假设 $A$ 在垂直于边界的方向上满足一定的正则性，即差异 $A(x,t) -A(x,0)$ 满足 Fefferman-Kenig-Pipher 型的 Carleson 测度条件，且具有小的 Carleson 范数。在这些条件下，我们建立了双层和单层位势在 $L^p$、Hardy、Sobolev、BMO 和 H"older 空间中的一整套有界性结果。进一步，我们证明了 $L$ 的 Dirichlet 问题的可解性，其数据分别位于 $L^p(\mathbb{R}^n)$、$BMO(\mathbb{R}^n)$ 和 $C^\alpha(\mathbb{R}^n)$ 中；以及 Neumann 问题和正则性问题的可解性，其数据分别位于空间 $L^p(\mathbb{R}^n)/H^p(\mathbb{R}^n)$ 和 $L^p_1(\mathbb{R}^n)/H^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ 中（需对指标施加适当限制），并假设层位势对于与 $t$ 无关的算子 $L_0:= -\nabla\cdot(A(\cdot,0)\nabla)$ 是可逆的。