在 $\partial_t A$ 满足 $L^1$ Carleson 条件下，Dirichlet 问题与正则性问题的可解性等价性

我们研究 upper half space 上的椭圆算子 $L:=\mathrm{div}(A\nabla \cdot)$。已知在 $\dot{W}^{1,p}$ 中的正则性问题可解性暗示其伴随 Dirichlet 问题在 $L^{p'}$ 中的可解性。此前，Shen (2007) 建立了部分逆结果。在本工作中，我们表明，如果只对 $|\partial_t A|$ 假设 $L^1$-Carleson 条件，则完全的逆向成立。结果是，我们在该条件下获得 Dirichlet 问题 $(D)^*_{p'}$ 与正则性问题 $(R)_p$ 的可解性等价性。进一步地，我们可以扩充使 $L^p$ 正则性问题可解的算子类，满足混合 $L^1-L^\infty$ 条件的算子。此外，在 upper half plane 的情况下，该类包括满足 $|\partial_t A|$ $L^1$-Carleson 条件的算子。