具有 $L^{p'}$-Carleson 空间内数据的 Poisson-Dirichlet 问题的可解性及其对 $L^{p}$-正则性问题的应用

我们证明，对于具有实系数且仅为有界系数的椭圆算子 $L=-\operatorname{div}A\nabla$，齐次 Dirichlet 问题的 $L^{p'}$-可解性等价于 Poisson Dirichlet 问题 $Lw=H-\operatorname{div} F$ 的 $L^{p'}$-可解性；后者由非切向极大函数的 $L^{p'}$ 估计定义，假设 $\operatorname{dist}(\cdot, \partial \Omega) H$ 与 $F$ 属于某些 $L^{p'}$-Carleson 型空间，且区域 $\Omega\subset\mathbb R^{n+1}$（$n\geq2$）满足开瓶塞条件并具有 $n$-Ahlfors 正则边界。进而，我们利用该结果证明：在具有一致 $n$-可求长边界且满足开瓶塞条件的 bounded 区域中，满足 Dahlberg-Kenig-Pipher 条件（任意大常数）的算子 $L=-\operatorname{div} A\nabla$ 的齐次 Dirichlet 问题的 $L^{p'}$-可解性，蕴含其伴随算子 $L^*=-\operatorname{div} A^T \nabla$ 的 $L^p$-正则性问题的可解性，其中 $1/p+1/p'=1$，$A^T$ 为 $A$ 的转置矩阵。对于 Dahlberg-Kenig-Pipher 算子，即便 $\Omega$ 为单位球，该结果也是新的，尽管自 2001 年起这些算子在 Lipschitz 域中 Dirichlet 问题的 $L^{p'}$-可解性已为人知。进一步的新应用包括：i) 粗糙域中 Green 函数及其梯度的新局部估计；ii) 关于“Poisson-正则性问题”的 $L^{p}$-可解性的局部 $T1$ 型定理（其本身等价于齐次 Dirichlet 问题的 $L^{p'}$-可解性），以某些局部地形函数的梯度估计表述；iii) 有界粗糙域上对称算子 $L$ 的特征函数（及其梯度）的新 $L^p$ 估计。