$L^p$ Dirichlet 问题在 Lipschitz 域上可解性的充要条件

我们研究 $R^n$ ($n\ge 4$) 中 Lipschitz 域上具有实常系数的 $2\ell$ 阶齐次椭圆组。对任意固定的 $p>2$,我们证明指数为 $p$ 的反向 Hölder 条件是带 $L^p$ 边界数据的 Dirichlet 问题可解的充分必要条件。我们也得到一个简单的充分条件。作为推论,我们建立了当 $n\ge 4$ 且 $2-\e< p<\frac{2(n-1)}{n-3} +\e$ 时 $L^p$ Dirichlet 问题的可解性。$p$ 的范围在 $\ell\ge 2$ 且 $4\le n\le 2\ell +1$ 时已知是最优的。对于多重调和方程,在 $\ell=2$ 的 $n=6, 7$ 情形以及 $\ell\ge 3$ 的 $n=2\ell+2$ 情形也找到了 $p$ 的最优范围。