Lipschitz 区域上双调和函数的双线性估计

我们证明，在 Lipschitz 区域 $\Omega$ 上，双调和函数的双线性估计等价于 $\Omega$ 上双调和方程 Dirichlet 问题的可解性。作为结果，我们证明，对于任意给定的有界 Lipschitz 区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 和 $1<q<\infty$，$\Omega$ 上 $\Delta^2 u=0$ 的 $L^{q}$ Dirichlet 问题（边界数据在 ${\emph{WA}}^{1,q}(\partial\Omega)$ 中）的可解性，等价于 $\Omega$ 上 $\Delta^2 u=0$ 的 $L^p$ 正则性问题（边界数据在 ${\emph{WA}}^{2,p}(\partial\Omega)$ 中）的可解性，其中 $\frac{1}{p} +\frac{1}{q}=1$。这一对偶关系，结合 Dirichlet 问题的已知结果，使我们能够解决 $d\ge 4$ 且 $p$ 在特定范围内的 $L^p$ 正则性问题。