平面 Lipschitz 域边界值新表达方式——以全纯函数为中心

我们将 $p$ 可积函数在 simply connected Lipschitz 域 $\Omega \subset \mathbb C$ 边界上的函数分解为两个唯一确定的全纯函数的边界值之和，其中一个函数在 $\Omega$ 中全纯，另一个函数在 $\mathbb C \setminus \overline{\Omega}$ 中全纯且在无穷处消失。该分解此前已在光滑域边界上光滑函数的情形下描述。分解的唯一性在光滑情形下显而易见，但将其扩展到 $L^p$ 设定需要依赖经典但鲜为人知的正则性定理，以致于我们提供了一种适用于更高维度的新证明。我们结果的直接推论将为 Cauchy 变换作用于 $L^p(b\Omega)$ 的核的新表征提供可能。这些结果为经典的调和函数 Dirichlet 问题及其 Poisson 公式提供了新的视角，即便在圆盘的情况下也是如此。进一步讨论了应用并给出未来工作的方向。