非光滑区域中 Poisson 方程的加权 Sobolev 空间理论

我们引入了非光滑区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 中具有零 Dirichlet 边界条件的 Poisson 方程的一个一般性 $L_p$-可解性结果。我们对区域 $\Omega$ 的唯一假设是 Hardy 不等式：存在常数 $N>0$ 使得 $$\int_{\Omega}\Big|\frac{f(x)}{d(x,\partial\Omega)}\Big|^2\,\mathrm{d} x\leq N\int_{\Omega}|\nabla f|^2 \,\mathrm{d} x\quad\text{for any}\quad f\in C_c^{\infty}(\Omega)\,.$$ 为了在一般框架下描述解的边界行为，我们提出了一个由上调和函数与到边界的距离函数组成的权重系统。此外，我们探讨了在多种非光滑区域中的应用，包括凸区域、满足外部锥条件的区域、完全消失的外部 Reifenberg 区域，以及 $\Omega^c$ 的 Aikawa 维数小于 $d-2$ 的区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$。利用根据区域几何条件量身定制的上调和函数，我们针对各种非光滑区域和因各区域条件而异的具体权重范围，推导出了加权 $L_p$-可解性结果。此外，我们给出了关于解的 Hölder 连续性的应用。