关于自由边值问题解的唯一性与单调性

对于任意$\Omega\subset \mathbb{R}^N$光滑有界域，我们证明了等离子体物理中出现的自由边值问题在$\Omega$上正解的唯一性，其在一个仅依赖于Sobolev嵌入$H^{1}_0(\Omega)\hookrightarrow L^{2p}(\Omega)$（$p\in [1,\frac{N}{N-2})$）最佳常数的简洁区间内，并表明边界密度与适当定义的能量具有一致的单调行为。至少据我们所知，对于$p>1$，这是关于非二维球域的唯一性首个结果，特别是关于解单调性的首个结果，即便对$p=1$似乎也是新的。该阈值在$p=1$时是尖锐的，给出了一个保证$\Omega$内无自由边界的新条件。作为推论，在同一范围内，我们解决了一个长期未决的公开问题（可追溯至Berestycki-Brezis 1980年的工作）关于变分解的唯一性。此外，在二维球上我们描述了正解的完整分支，即我们证明了沿正解曲线直到边界密度消失的单调性。