具有Hardy势的半线性椭圆问题的正解

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 为有界区域，$\delta(x)$ 为点 $x\in \Omega$ 到边界的距离。我们研究问题 $\Delta u +\frac{\mu}{\delta(x)^2}u=u^p$ 在 $\Omega$ 中的正解，其中 $p>0, \,p\ne 1$ 且 $\mu \in \mathbb{R},\,\mu\ne 0$ 小于Hardy常数。奇异势与非线性之间的相互作用导致了解集的有趣结构。在本文中，我们首先给出了球中径向解的完整图景。特别地，我们证明了对于 $p>1$，存在唯一的大解，其在边界处表现为 $\delta^{- \frac2{p-1}}$。在一般区域中，我们扩展了 arXiv:arch-ive/1407.0288 的结果，并证明存在唯一的奇异解 $u$，使得对于任意正函数 $c \in C^{2+\gamma}(\partial\Omega) \, (\gamma \in (0,1)), c \ge 0$，在边界上有 $u/\delta^{\beta_-}\to c$。这里 $\beta_-$ 是 $\beta(\beta-1)+\mu=0$ 的较小根。