关于具有多重奇点的 Hardy-Sobolev 临界方程 Neumann 问题的研究

设 $N \geq 3$，$\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 为 $C^2$ 有界区域。我们研究方程 \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} -\Delta u + \lambda u = \frac{|u|^{2^*(s)-2}u}{|x-x_1|^s} + \frac{|u|^{2^*(s)-2}u}{|x-x_2|^s}\text{ in }\Omega\\ \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \text{ on }\partial\Omega, \end{array}\right. \end{align*} 正解 $u \in H^1(\Omega)$ 的存在性，其中 $0 < s <2$，$2^*(s) = \frac{2(N-s)}{N-2}$，且 $x_1, x_2 \in \overline{\Omega}$ 满足 $x_1 \neq x_2$。首先，我们证明当正参数 $\lambda$ 足够小时，该方程存在正解。在其中一个奇点位于边界且该奇点处边界的平均曲率为正的情况下，对任意 $\lambda > 0$ 总能得到正解的存在性。此外，我们将解的存在性理论推广到具有不同指数的多重奇点情形。