临界 Grushin 问题中带奇异非线性的解的存在性与数目性

我们研究带奇异非线性的临界 Grushin 问题正解的存在性与数目性：\n\begin{equation} \begin{cases} \begin{aligned} - \Delta_{\gamma} u &= \lambda u^{p} + u^{-\delta} &\quad \text{in } \Omega, \quad u &= 0 &\quad \text{on } \partial \Omega, \end{aligned} \end{cases} \end{equation}\n其中 $\Delta_{\gamma}$ 为由下式定义的 Grushin 算子\n\begin{equation} \Delta_{\gamma} := \Delta_x + (1+\gamma)^2 |x|^{2\gamma}\Delta_y, \end{equation}\n$\gamma>0$, $z=(x,y)\in \mathbb{R}^N$, $N=n+m$, $n \geq 1$, $m\geq 1$, $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 为光滑有界域, $\lambda>0$, $1<p<\infty$, $\delta>0$。该分析取决于指数 $p$，可能为亚临界、临界或超临界，即 $p<2_\gamma^*-1$, $p=2_\gamma^*-1$, 或 $p>2_\gamma^*-1$，其中 $2_\gamma^*=\frac{2Q}{Q-2}$ 为与 Grushin 算子相关的临界 Sobolev 指数，$Q=m+(1+\gamma)n$ 为相应齐次维数。