临界 Grushin-Choquard 问题的分叉与数目结果

我们考虑以下涉及 Grushin 算子的非局部 Br\'ezis-Nirenberg 类型临界 Choquard 问题：\begin{equation*} \left\\{ \begin{aligned} -\Delta_\gamma & u =\lambda u + \left(\displaystyle\int_\Omega \frac{|u(w)|^{2^*_{\gamma,\mu}}}{d(z-w)^\mu}dw\right) |u|^{2^*_{\gamma,\mu}-2}u \quad &\text{在} \ \Omega, u &= 0 \quad &\text{在} \ \partial \Omega, \end{aligned} \right\end{equation*} 其中 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的开区间域，$N \geq 3$，且 $\Omega \cap \{ x=0\} \neq \emptyset$，$\lambda >0$ 为参数。此处，$\Delta_\gamma$ 表示 Grushin 算子，定义为 $$\Delta_\gamma u(z) = \Delta_x u(z) +(1+\gamma)^2 |x|^{2\gamma} \Delta_y u(z), \quad \gamma \geq 0,$$ 其中 $z=(x,y)\in \Omega \subset \mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n$，$m+n=N \geq 3$，$2^*_{\gamma,\mu}= \frac{2N_\gamma-\mu}{N_\gamma-2}$ 为 Hardy-Littlewood 情形下的 Sobolev 临界指数，$N_\gamma= m+(1+\gamma)n$ 为与 Grushin 算子相关的齐次维数，$0<\mu<N_\gamma$。与 Grushin 算子相关的齐次范数记为 $d(\cdot)$。本文证明，当在 Dirichlet 边界条件下时，从 $-\Delta_\gamma$ 的任意特征值 $\lambda^*$ 处可发生分叉。进一步地，我们表明在 $\lambda^*$ 的适当左邻域中，问题的非平凡解的数目至少为 $\lambda^*$ 的重数。