具有 Hardy-Littlewood-Sobolev 非线性的临界指数 Neumann 问题

本文中，我们研究具有 Neumann 边界条件的非线性 Choquard 方程的 Brezis-Nirenberg 型问题 \begin{equation*} \begin{aligned} -\Delta u &= \lambda \alpha(x)u + \left(\int\limits_{\Omega}\frac{u(y)^{2^*_{\mu}}}{|x-y|^{\mu}}\;dy\right)u^{2^*_{\mu}-1}, \;\;\text{in} \; \Omega,\\ \frac{\partial u}{\partial \nu} &= 0\;\; \text{on} \; \partial\Omega, \end{aligned} \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ $(N\geq 4)$ 中的有界域，$\nu$ 是 $\partial \Omega$ 的单位外法向量且 $\mu \in (0, N)$。根据参数 $\lambda$，我们证明了该问题正弱解存在与不存在的充要条件。证明基于变分论证。