关于 Brezis-Nirenberg 问题：六维中的开放问题与新结果

在本文中，我们考虑 Brezis-Nirenberg 问题 \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} &-\Delta u = \lambda u+|u|^{2^*-2}u, \quad &\mbox{in}\,\Omega,\\ &u=0,\quad &\mbox{on}\, \partial\Omega, \end{aligned}\right. \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb R^N$ 中具有 $N\geq 3$ 的光滑有界区域，$\lambda>0$ 是参数且 $2^*=\frac{2N}{N-2}$ 是临界 Sobolev 指数。我们首先回顾 Brezis-Nirenberg 问题的历史，然后在六维中提供关于该问题的新结果。最后，我们还列出了一些关于 Brezis-Nirenberg 问题的开放问题。