四维空间中的 Brezis-Nirenberg 问题

问题 \begin{equation} \label{bn} -\Delta u=|u|^{4\over n-2}u+\lambda V u\ \hbox{in}\ \Omega,\ u=0\ \hbox{on}\ \partial\Omega \end{equation} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb R^n$ 中的有界正则区域，$\lambda\in \mathbb R$ 且 $V\in C^0(\overline \Omega)$，该问题由 Brezis 与 Nirenberg 在其著名论文中引入，他们在其中讨论了自治情形（即势 $V$ 为常数）下正解的存在性。此后，大量工作得以开展。在下文中，我们将简要回顾历史，重点介绍与本文所研究问题最为贴近的结果。