双曲空间上 Brezis-Nirenberg 问题的解间隙

我们考虑非线性特征值问题 $-\Delta_{\mathbb{H}^n} u = \lambda u + u^p$ 的正解，其中 $p=\frac{n+2}{n-2}$ 且 $u \in H_0^1(\Omega)$，这里 $\Omega$ 是 $\mathbb{H}^n$ 上半径为 $\theta_1$ 的测地球。对于径向解，该方程可以写成一个以 $n$ 为参数的常微分方程。在此设定下，该问题可以扩展以考虑 $n$ 的实数值。我们证明，如果 $2<n<4$，该问题有唯一正解当且仅当 $\lambda\in \left(n(n-2)/4 +L^*\,,\, \lambda_1\right)$。这里 $L^*$ 是 $L = -\ell(\ell+1)$ 的第一个正值，使得适当定义的连带勒让德函数 $P_{\ell}^{-\alpha}(\cosh\theta)$ 在 $0 < \theta<\theta_1$ 时满足 $P_{\ell}^{-\alpha}(\cosh\theta) >0$ 且 $P_{\ell}^{-\alpha}(\cosh\theta_1)=0$，其中 $\alpha = (2-n)/2$。