一类加权双调和方程正径向解的分类

在本文中，我们考虑加权四阶方程 $$\Delta(|x|^{-\alpha}\Delta u)+\lambda \text{div}(|x|^{-\alpha-2}\nabla u)+\mu|x|^{-\alpha-4}u=|x|^\beta u^p\quad \text{in} \quad \mathbb{R}^n \backslash \{0\},$$ 其中 $n\geq 5$，$-n<\alpha<n-4$，$p>1$ 且 $(p,\alpha,\beta,n)$ 属于临界双曲线 $$\frac{n+\alpha}{2}+\frac{n+\beta}{p+1}=n-2.$$ 我们证明了对于某些 $\lambda$ 和 $\mu$ 该方程径向解的存在性。另一方面，令 $v(t):=|x|^{\frac{n-4-\alpha}{2}}u(|x|)$，$t=-\ln |x|$，则对于在原点具有不可去奇点的径向解 $u$，当 $\alpha \in (-2,n-4)$ 且 $\lambda$、$\mu$ 满足某些条件时 $v(t)$ 为周期函数；而当 $\alpha \in (-n,-2]$ 时，存在具有不可去奇点的径向解，且相应的函数 $v(t)$ 不是周期的。我们还得到了一些关于最佳常数与对称性破缺的结果，这与 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式密切相关。